Give up指放弃努力、投降；abandon强调不再关心或支持；desert的指责意味更强；forsake用于对亲密关系的放弃。
Give up的意思是认输、停止努力。
比如某宅男看到女神躺在高富帅的怀里，就留下一句“祝你幸福”转身走开，这就叫give her up。

Abandon的意思是彻底放弃，不再关心，特指停止对某人的照顾、支持。比如：
His mother had abandoned him at an early age.
他在幼年就被母亲遗弃。
还可以指离开、废弃某地或某物，比如：
He decided not to abandon his Chicago residence.
他决定不搬离在芝加哥的住宅。

DESERT形容逃兵等可耻的放弃行为时，会用到一个比abandon更具有贬义的单词：desert。它指不忠诚、不负责任地抛弃。例如：
He deserted his wife and daughter.
他抛弃妻女。

此外，desert还有“在对方需要的时候辜负某人”的意思。这种用法中，desert的主语是某种能力，不用人做主语。比如：
His luck deserted him.
运气没有眷顾他。
最后，desert在做名词时是沙漠的意思，它在做动词时可以表示离开某地让它荒凉。比如：
The tourists have deserted the beaches.
游客们离开了沙滩。

Forsake是指对亲密关系中断、弃绝。例如：
He forsook his wife for a career.
他为了职业生涯抛弃了妻子。
也可以指放弃某种价值观或兴趣，如：
I will not forsake my ideals.
我不会放弃我的理想。